Question

已知圓C：的半徑等于橢圓E：（a＞b＞0）的短半軸長，橢圓E的右焦點F在圓C內，且到直線l：y＝x－的距離為－，點M是直線l與圓C的公共點，設直線l交橢圓E于不同的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．

（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）求證：｜AF｜－｜BF｜＝｜BM｜－｜AM｜．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）先把表示出來，得，同理，從而命題得證.

解析試題分析：（Ⅰ）先利用到直線的距離得，求出，再求出，從而得橢圓方程為；（Ⅱ）先利用為直角三角形，求出，又，可得，同理得，所以，同理可得，繼而得到.
試題解析：（Ⅰ）設點，則到直線的距離為，即
，                 （2分）
因為在圓內，所以，故；                 （4分）
因為圓的半徑等于橢圓的短半軸長，所以，橢圓方程為.      （6分）
（Ⅱ）因為圓心到直線的距離為，所以直線與圓相切，是切點，故為直角三角形，所以，
又，可得，                    （7分）
，又，可得，        （9分）
所以，同理可得，            （11分）
所以，即.      （12分）
考點：直線與橢圓的位置關系的綜合應用.