Question

（本題滿分14分）設數列{a_n}的各項均為正數，它的前n項和為S_n（n∈N*），已知點(a_n，4S_n)在函數f (x)=x²+2x+1的圖象上．（1）證明{a_n}是等差數列，并求a_n；（2）設m、k、p∈N*，m+p=2k，求證：＋≥；（3）對于（2）中的命題，對一般的各項均為正數的等差數列還成立嗎？如果成立，請證明你的結論，如果不成立，請說明理由。

Answer 1

(Ⅰ)   a_n=2n-1． (Ⅱ) 見解析  （Ⅲ）見解析

解析:

（1）∵ ，∴   (n≥2)．

兩式相減得．整理得 ，

∵ ，∴ （常數）．∴ {a_n}是以2為公差的等差數列．

又，即，解得，∴ a_n=1+(n-1)×2=2n-1．………4分

（2）由（1）知，∴ S_m=m²，S_p=p²，S_k=k²．

由

≥≥=0，即≥．…7分

（3）結論成立，證明如下：

設等差數列{a_n}的首項為a₁，公差為d，則，

∵

，

把代入上式化簡得=≥0，

∴ S_m+S_p≥2S_k．又=

≤

，

∴ ≥．

故原不等式得證．……14分