Question

已知函數f(x)=|

1

x

-1|
（1）由函數y=

1

x

的圖象經過怎樣的變換可以得到函數y=f（x）的圖象？請作出y=f（x）的圖象；
（2）若存在實數a，b（a＜b），使得集合{y|y=f（x），a≤x≤b}=[ma，mb]，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數 解析式知，可將函數y=

1

x

的圖象向下平移一個單位，再把所得的圖象在x軸下方的部分關于x軸對稱得到函數f(x)=|

1

x

-1|的圖象；
（2）由題設條件存在實數a，b（a＜b），使得集合{y|y=f（x），a≤x≤b}=[ma，mb]，及函數的圖象可以判斷出m＞0，a＞0再分三類對m的取值范圍進行討論，即0＜a＜b≤1，0＜a＜b≤1，1≤a＜b三類，在每一類中確定出函數的最值，將其轉化為方程，分別解出符合條件的m的范圍，即可得到實數m的取值范圍．

解答：解：（1）將函數y=

1

x

的圖象向下平移一個單位，再把所得的圖象在x軸下方的部分關于x軸對稱，就可得到函數y=f（x）的圖象．…（3分）
（2）由題意知a＜b，ma＜mb，
∴m＞0．
又∵f（x）≥0，
∴ma≥0．而a≠0，
∴a＞0，
∴ma＞0…（8分）
當0＜a＜b≤1時，
則

f(a)=mb f(b)=ma

⇒a=b矛盾…（9分）
當0＜a＜1＜b時，
∵f（1）=0∉[ma，mb]矛盾…（10分）
當1≤a＜b時，則

f(a)=ma f(b)=mb

即

1- 1 a =ma 1- 1 b =mb

∴1-

1

x

=mx，即mx²-x+1=0在[1，+∞）上有兩個不等根
記g（x）=mx²-x+1，則

1 2m ＞1 △＞0 g(1)≥0

解得0＜m＜

1

4

…（14分）
答：所求參數m的取值范圍是0＜m＜

1

4

點評：本題考查函數與方程的綜合運用，考查函數圖象的變化，集合相等的意義，函數的值域概念，解題的關鍵理解題意，分類轉化研究參數的取值范圍本題考查了分類計件思想、方程的思想，轉化的思想，考查了判斷推理的能力，分類討論的技巧