Question

【題目】已知函數，且在上滿足恒成立.

（1）求實數的值；

（2）令在上的最小值為，求證：.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）分別在和兩種情況下討論導函數的正負，得到原函數單調性，由此可知時不合題意，并求出時，，則只需即可，令，利用導數可求得，結合，由此可確定僅有滿足條件；

（2）利用導數和零點存在性定理可確定函數的單調性，得到，由可化簡得到，代入解析式即可證得結論.

（1）當時，原函數可化為：，則，

當時，，在上單調遞增，

，當時，，不合題意；

當時，，

∴當時，；當時，，

在上單調遞增，在上單調遞減，

即.

要使在時恒成立，則只需，即.

令，則，

∴當時，；當時，，

即在上單調遞減，在上單調遞增.

又，滿足條件的只有，即.

（2）由（1）知：，，

，.

令，則，

，，即在上單調遞增；

又，，

，使得，即，

且當時，；當時，，

即在上單調遞減；在上單調遞增，

，即，

，

即.