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設函數F(x )=x2+aln(x+1)

(I)若函數y=f(x)在區間[1,+∞）上是單調遞增函數，求實數a的取值范圍；

(II)若函數y=f(x)有兩個極值點x1,x2且，求證: .

 

【答案】

（Ⅰ）； (II)見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用導數，先對函數進行求導，讓，在[1,+∞）上是恒成立的，求解可得a的取值范圍；(II)令，依題意方程在區間有兩個不等的實根，記，則有，得，然后找的表達式，利用導數求此函數單調性，可得結論.

試題解析：（Ⅰ）在區間上恒成立，

即區間上恒成立，        1分

.      3分

經檢驗，  當時， ，時，，

所以滿足題意的a的取值范圍為.      4分

（Ⅱ）函數的定義域，，依題意方程在區間有兩個不等的實根，記，則有，得.       6分

法一：，，，

，令，    8分

，， ,

因為，存在，使得，

-

0

+

，，，所以函數在為減函數，   10分

即        12分

法二:6分段后面還有如下證法，可以參照酌情給分.

【證法2】為方程的解，所以,

∵， ，，∴,

先證，即證（）,

在區間內，，內，所以為極小值，,

即，∴成立；       8分

再證，即證,

,

令，        10分

,

,

，，,

∴，在為增函數．

 

．

綜上可得成立．         12分

考點：1、導數的運算及性質；2、導數與函數的綜合應用.

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
，求a的值；
（2）關于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數恰有3個，求實數a的取值范圍；
（3）對于函數f（x）與g（x）定義域上的任意實數x，若存在常數k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數f（x）與g（x）的“分界線”．設a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=p（x-
1
x
）-2lnx，g（x）=
2e
x
（p是實數，e為自然對數的底數）
（1）若f（x）在其定義域內為單調函數，求p的取值范圍；
（2）若直線l與函數f（x），g（x）的圖象都相切，且與函數f（x）的圖象相切于點（1，0），求p的值；
（3）若在[1，e]上至少存在一點x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求p的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）的定義域為D，若存在非零實數l使得對于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈D，且f（x+1）≥f（x），則稱f（x）為M上的高調函數．現給出下列三個命題：
①函數f(x)=(
12
)x為R上的l高調函數；
②函數f（x）=sin2x為R上的π高調函數；
③如果定義域是[-1，+∞）的函數f（x）=x2為[-1，+∞）上的m高調函數，那么實數m的取值范圍[2，+∞）；
其中正確的命題是
②③
②③
（填序號）

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）是定義在R上的偶函數，且f（x+2）=f（x）恒成立；當x∈[0，1]時，f（x）=x3-4x+3．有下列命題：
①f(-
3
4
) ＜f(
15
2
)；
②當x∈[-1，0]時f（x）=x3+4x+3；
③f（x）（x≥0）的圖象與x軸的交點的橫坐標由小到大構成一個無窮等差數列；
④關于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7個不同的根．
其中真命題的個數為（　�。�

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科目：高中數學 來源：徐州模擬 題型：解答題

設函數f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為2
2
，求a的值；
（2）關于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數恰有3個，求實數a的取值范圍；
（3）對于函數f（x）與g（x）定義域上的任意實數x，若存在常數k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數f（x）與g（x）的“分界線”．設a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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