Question

【題目】如圖，已知平面平面，B為線段的中點，，四邊形為正方形，平面平面，，，M為棱的中點.

（1）若N為線段上的點，且直線平面，試確定點N的位置；

（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）N為的中點；（2）.

【解析】

（1）根據線面平行的性質，得到線線平行，在同一個平面中，根據相似三角形，即可得到點的位置；

（2）以為坐標原點，以為軸建立空間直角坐標系，求出兩個平面的法向量，根據向量夾角的計算公式，即可求得結果.

（1）連接，∵直線平面，平面，

平面平面，

又M為的中點，為的中位線，

∴N為的中點；

（2）設，則，，

又∵B為的中點，.

，

又平面平面，平面平面

∴四邊形為平行四邊形.

又，∴四邊形為菱形.

又，，

，，

，

，平面平面

平面，，

，，兩兩互相垂直

∴以A為坐標原點，

分別以，，所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系

如下圖所示：

依題意，得，，，

設平面的一個法向量

則有且得：

且

令，得，

故

又平面即為平面

平面的一個法向量，

∴所求銳二面角的余弦值為：

.

即平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.