Question

（本小題滿分13分）

設函數

（I）若當時，取得極值，求的值，并討論的單調性；

（II）若存在極值，求的取值范圍，并證明所有極值之和大于．

 

Answer 1

【答案】

（I）分別在區間單調增加，在區間單調減少．

（II）當時，，當時，，所以無極值．

若，，，也無極值．

的極值之和為

．

【解析】解：（Ⅰ），

依題意有，故．從而．

的定義域為，當時，；

當時，；   當時，．

從而，分別在區間單調增加，在區間單調減少．

（Ⅱ）的定義域為，．

方程的判別式．

（ⅰ）若，即，在的定義域內，故的極值．

（ⅱ）若，則或．

若，，．

當時，，當時，，所以無極值．

若，，，也無極值．

（ⅲ）若，即或，則有兩個不同的實根，．

當時，，從而有的定義域內沒有零點，故無極值．

當時，，，在的定義域內有兩個不同的零點，由根值判別方法知在取得極值．

綜上，存在極值時，的取值范圍為．

的極值之和為

．