Question

若a=

∫

1 0

 (2x+1)dx，則二項式（ax+

1

x

）⁶的展開式中的常數項為

 

．

Answer 1

分析：由定積分的定義，令F'（x）=2x-1，則F（x）=x²-x，由公式求出積分值，從而求出a的值，再用展開式的通項求常數項．

解答：解：由導數的運算法則知當F（x）=x²+x時，F'（x）=2x+1
  由定積分的定義得
a=∫₀¹（2x+1）dx=F（1）-F（0）=2-0=2
 （2x+

1

x

）⁶展開式的通項為T _k+1=C₆^k（2x）^6-k（

1

x

）^k=2^6-kC₆^kx^6-2k
令6-2k=0得k=3
展開式中的常數項為2³C₆³=160
故答案為：160

點評：本題考點是定積分，此類題高中要求較低，能根據公式求值即可，以及二項展開式的通項公式是解決二項展開式特殊項問題的方法．