【題目】已知
，
。
（1）當
時，求f（x）的最大值。
（2）若函數f（x）的零點個數為2個，求
的取值范圍。
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）求出
，再求出
，利用的正負判斷的單調性，從而判斷的正負，從而判斷
的單調性，進而求得函數的最值。
（2）求出，再求出，求得函數單調性，對參數
的范圍分類討論，求得函數的最值，結合函數的單調性，從而判斷函數的零點個數。
解：（1）當
時，
.因為
時，
所以
在
上為減函數.（遞減說明言之有理即可）
又
，所以當
時，
，函數
單調遞增；
當
時，
，函數單調遞減；故
.
（2）
，
，
當
，且時，
.
所以在上為減函數
時，
，
時，
，故存在
使得
，且有在
上遞增，
在
遞減，
.
①當時由（1）知只有唯一零點
②當
時，
即有
，
此時有2個零點
③當
時，
，
又有
，故
.
令
，
，故
在定義域內單調遞增.
而
，故
，于是
，所以時不存在零點.
綜上：函數的零點個數為2個，的取值范圍為．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知正四面體ABCD的棱長為2，球O與四面體的面ABC和面DBC都相切，其切點分別在△ABC和△DBC內(含邊界)，且球O與棱AD相切.
（1）證明：球O的球心在棱AD的中垂面上；
（2）求球O的半徑的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】《易經》是中國傳統文化中的精髓，如圖是易經八卦（含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦），每一卦由三根線組成（"
"表示一根陽線，"
"表示一根陰線），從八卦中任取兩卦，這兩卦的六根線中恰有兩根陽線，四根陰線的概率為_______.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2013年5月，華人數學家張益唐的論文《素數間的有界距離》在《數學年刊》上發表，破解了困擾數學界長達一個多世紀的難題，證明了孿生素數猜想的弱化形式，即發現存在無窮多差小于7000萬的素數對．這是第一次有人證明存在無窮多組間距小于定值的素數對．孿生素數猜想是希爾伯特在1900年提出的23個問題中的第8個，可以這樣描述：存在無窮多個素數
，使得
是素數，素數對
稱為孿生素數．在不超過16的素數中任意取出不同的兩個，則可組成孿生素數的概率為（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知橢圓C：
＋y2＝1（a＞1）的上頂點為A，右焦點為F，直線AF與圓M：x2＋y2－6x－2y＋7＝0相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若不過點A的動直線l與橢圓C相交于P，Q兩點，且
＝0，求證：直線l過定點，并求出該定點N的坐標．
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