Question

【題目】已知動點到點和直線l： 的距離相等.

（Ⅰ）求動點的軌跡E的方程；

（Ⅱ）已知不與垂直的直線與曲線E有唯一公共點A，且與直線的交點為，以AP為直徑作圓.判斷點和圓的位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：（1）根據拋物線定義可得方程（2）以AP為直徑作圓，判斷點和圓的位置關系則只需驗證等于零否從而可得結論

（Ⅰ）設動點，

由拋物線定義可知點的軌跡E是以為焦點，直線l： 為準線的拋物線，

所以軌跡E的方程為.

（Ⅱ）法1：由題意可設直線，

由可得（*），

因為直線與曲線E有唯一公共點A，

所以，即.

所以（*）可化簡為，

所以，

令得，

因為，

所以

所以，

所以點在以PA為直徑的圓上.

法2：依題意可設直線，

由可得（*），

因為直線與曲線E有唯一公共點A，且與直線的交點為，

所以即

所以（*）可化簡為，

所以.

令得，

因為，

所以，

所以點在以PA為直徑的圓上.