Question

設函數f（x）=-2x³+3（1-2a）x²+12ax-1（a∈R）在x=x₁處取極小值，x=x₂處取極大值，且．
（1）求a的值；
（2）求函數f（x）的極大值與極小值的和．

Answer 1

【答案】分析：（1）求導函數，分類討論，利用，即可求得滿足條件的a的值；
（2）由（1）知，x₁=-1，x₂=1，求出函數極小值與極大值，即可求函數極小值與極大值的和．
解答：解：（1）求導函數，可得f′（x）=-6x²+6（1-2a）x+12a=-6（x-1）（x+2a）
令f'（x）=0，可得x=1或x=-2a
①若a≤-時，x₁=1，x₂=-2a，由，可得1=-2a，a=-，此時f′（x）≤0，函數無極值；
②若a＞-時，x₁=-2a，x₂=1，由，可得4a²=1，a=
此時，x∈（-∞，-1），f′（x）＜0；x∈（-1，1），f′（x）＞0；x∈（1，+∞），f′（x）＜0
滿足條件，綜上知a=
（2）由（1）知，x₁=-1，x₂=1； f（x₁）=f（-1）=2-12×-1=-5，
∴函數極小值為-5；
f（x₂）=f（1）=-2+12×-1=3，
∴函數極大值為3
∴函數極小值與極大值的和為-2
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與極值，正確求導是關鍵．