Question

（2011•東城區模擬）對數列{a_n}，規定{△a_n}為數列{a_n}的一階差分數列，其中△a_n=a_n+1-a_n（n∈N^*）．對正整數k，規定 {△^ka_n}為{a_n}的k階差分數列，其中△^ka_n=△^k-1a_n+1-△^k-1a_n=△（△^k-1a_n）．
（Ⅰ）若數列{a_n}的首項a₁=1，且滿足△²a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ，求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）對（Ⅰ）中的數列{a_n}，若數列{b_n}是等差數列，使得b₁C_n¹+b₂C_n²+b₃C_n³+…+b_n-1C_n^n-1+b_nC_nⁿ=a_n對一切正整數n∈N^*都成立，求b_n；
（Ⅲ） 在（Ⅱ）的條件下，令c_n=（2n-1）b_n，設Tn=

c1

a1

+

c2

a2

+

c3

a3

+…+

cn

an

，若T_n＜m成立，求最小正整數m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由△²a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ及△²a_n=△a_n+1-△a_n，可得△a_n-a_n=2ⁿ，即可得a_n+1-2a_n=2ⁿ，構造可得

an+1

2n+1

-

an

2n

=

1

2

，結合等差數列的通項可求

an

2n

，進而可求
（Ⅱ）由b₁C_n¹+b₂C_n²+b₃C_n³+…+b_n-1C_n^n-1+b_nC_nⁿ=a_n，可得b₁C_n¹+b₂C_n²+b₃C_n³+…+b_n-1C_n^n-1+b_nC_nⁿ=n•2^n-1．由組合數的性質kC_n^k=nC_n-1^k-1，可知C_n¹+2C_n²+…+nC_nⁿ=n（C_n-1⁰+…+C_n-1^n-1），從而可求b_n
（Ⅲ）由（Ⅱ）得 T_n=

1

1

+

3

2

+

5

22

+…+

2n-1

2n-1

，利用錯位相減可求T_n=6-

1

2n-3

-

2n-1

2n-1

＜6又T_n=

1

1

+

3

2

+

5

22

+…+

2n-1

2n-1

，，利用單調性的定義可知T_n+1-T_n＞0，{T_n}是遞增數列，且T₆=6-

1

23

-

11

25

＞5，從而可求m

解答：解：（Ⅰ）由△²a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ及△²a_n=△a_n+1-△a_n，
得△a_n-a_n=2ⁿ，
∴a_n+1-2a_n=2ⁿ，
∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=

1

2

，---------------（2分）
∴數列{

an

2n

}是首項為

1

2

，公差為

1

2

的等差數列，
∴

an

2n

=

1

2

+(n-1)×

1

2

，
∴a_n=n•2^n-1．--------（4分）
（Ⅱ）∵b₁C_n¹+b₂C_n²+b₃C_n³+…+b_n-1C_n^n-1+b_nC_nⁿ=a_n，
∴b₁C_n¹+b₂C_n²+b₃C_n³+…+b_n-1C_n^n-1+b_nC_nⁿ=n•2^n-1．
∵kC_n^k=nC_n-1^k-1，

∴ C 1 n +2 C 2 n +3 C 3 n +…+(n-1) C n-1 n +n C n n =n C 0 n-1 +n C 1 n-1 +n C 2 n-1 +…+n C n-1 n-1 =n( C 0 n-1 + C 1 n-1 + C 2 n-1 +…+ C n-1 n-1 )=n•2n-1.

∴b_n=n．------------（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得  
T_n=

1

1

+

3

2

+

5

22

+…+

2n-1

2n-1

，①
  

1

2

Tn=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

，②
①-②得 

1

2

Tn=1+1+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-2

-

2n-1

2n

=3-

1

2n-2

-

2n-1

2n

，
∴T_n=6-

1

2n-3

-

2n-1

2n-1

＜6，----------（10分）
又T_n=

1

1

+

3

2

+

5

22

+…+

2n-1

2n-1

，
∴T_n+1-T_n＞0，
∴{T_n}是遞增數列，且T₆=6-

1

23

-

11

25

＞5，
∴滿足條件的最小正整數m的值為6．--------（13分）

點評：本題主要考查了由新定義構造等差數列求解數列的通項公式，二項式系數的性質應用，數列求和的錯位相減的應用，及數列單調性的應用，屬于綜合性試題