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【題目】選修4—4：極坐標與參數方程

在平面直角坐標系中，將曲線 (為參數) 上任意一點經過伸縮變換后得到曲線的圖形．以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，已知直線．

（Ⅰ）求曲線和直線的普通方程；

（Ⅱ）點P為曲線上的任意一點，求點P到直線的距離的最大值及取得最大值時點P的坐標．

【答案】（1）, （2），P

【解析】試題分析：（I）根據伸縮變換的公式代入原方程,可以得到伸縮后的曲線方程；

（II）利用點P在橢圓上設出參數坐標,根據點到直線的距離公式求三角函數的最值,并求出取得最值時的值.

試題解析：（I）由已知有（為參數），消去得．

將代入直線的方程得

曲線的方程為，直線的普通方程為.

（II）由（I）可設點為， ．則點到直線的距離為：

故當，即時取最大值．

此時點的坐標為．

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知某運動員每次投籃命中的概率都為40%.現采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器算出0到9之間取整數值的隨機數，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三個隨機數為一組，代表三次投籃的結果.經隨機模擬產生了20組隨機數：

907 966 191 925 271 932 812 458 569 683

431 257 393 027 556 488 730 113 537 989

據此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為（ ）

A.0.35B.0.25C.0.20D.0.15

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【題目】如圖，已知橢圓，橢圓的長軸長為8，離心率為．

求橢圓方程；

橢圓內接四邊形ABCD的對角線交于原點，且，求四邊形ABCD周長的最大值與最小值．

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【題目】已知△ABC的兩個頂點A，B的坐標分別為（﹣2，0），（2，0），且AC，BC所在直線的斜率之積等于．

（1）求頂點C的軌跡方程；

（2）若斜率為1的直線與頂點C的軌跡交于M，N兩點，且|MN|=，求直線的方程．

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【題目】據統計，2017年國慶中秋假日期間，黔東南州共接待游客590.23萬人次，實現旅游收入48.67億元，同比分別增長44.57%、55.22%.旅游公司規定：若公司導游接待旅客，旅游年總收入不低于40（單位：百萬元），則稱為優秀導游.經驗表明，如果公司的優秀導游率越高，則該公司的影響度越高.已知甲、乙兩家旅游公司各有導游100名，統計他們一年內旅游總收入，分別得到甲公司的頻率分布直方圖和乙公司的頻數分布表如下：

分組

頻數

18

49

24

5

（Ⅰ）求的值，并比較甲、乙兩家旅游公司，哪家的影響度高?

（Ⅱ）若導游的獎金（單位：萬元），與其一年內旅游總收入（單位：百萬元）之間的關系為，求甲公司導游的年平均獎金；

（Ⅲ）從甲、乙兩家公司旅游收入在的總人數中，用分層抽樣的方法隨機抽取6人進行表彰，其中有兩名導游代表旅游行業去參加座談，求參加座談的導游中有乙公司導游的概率.

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【題目】中石化集團獲得了某地深海油田區塊的開采權，集團在該地區隨機初步勘探了部分兒口井，取得了地質資料.進入全面勘探時期后，集團按網絡點來布置井位進行全面勘探. 由于勘探一口井的費用很高，如果新設計的井位與原有井位重合或接近，便利用舊井的地質資料，不必打這口新井，以節約勘探費用．勘探初期數據資料見如表：

（Ⅰ）1～6號舊井位置線性分布，借助前5組數據求得回歸直線方程為，求，并估計的預報值；

（Ⅱ）現準備勘探新井，若通過1、3、5、7號井計算出的的值（精確到0.01）相比于（Ⅰ）中的值之差不超過10%，則使用位置最接近的已有舊井，否則在新位置打開，請判斷可否使用舊井？

（參考公式和計算結果：）

（Ⅲ）設出油量與勘探深度的比值不低于20的勘探并稱為優質井，那么在原有井號1～6的出油量不低于50L的井中任意勘探3口井，求恰好2口是優質井的概率.

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【題目】某水利部門擬在黃河沿岸修建一所水庫，為大致了解甲、乙兩地的降水情況，隨機選取汛期月份中的一周，將這一周內每日的降水量數據進行統計（單位：），制成如圖所示的莖葉圖.考慮以下結論：

①甲地本周的平均降水量低于乙地本周的平均降水量；

②甲地本周的中位降水量高于乙地本周的平均降水量；

③甲地本周的降水量眾數大于乙地本周的降水量的中位數；

④甲地本周降水量的標準差大于乙地本周降水量的標準差.

其中根據莖葉圖能得到的不恰當的統計結論的編號為（ ）

A.①③B.②④C.①④D.②③

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【題目】已知函數.

（1）若，，求的單調遞減的概率；

（2）當，且為整數時，求二次函數有兩個零點的概率.

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【題目】《朗讀者》以精美的文字，最平實的情感讀出文字背后的價值，感染了眾多聽眾，中央電視臺在2018年推出了《朗讀者第二季》，電視臺節目組要從2018名觀眾中抽取50名幸運觀眾．先用簡單隨機抽樣從2018人中剔除18人，剩下的2000人再按系統抽樣方法抽取50人，則在2018人中，每個人被抽取的可能性 ( )

A. 都相等，且為B. 都相等，且為C. 均不相等D. 不全相等

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