Question

【題目】

已知函數，其中是常數.

(Ⅰ)當時，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）若存在實數，使得關于的方程在上有兩個不相等的實數根，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）當a＝1時，f（1）＝e，f′（1）＝4e，由點斜式可求得y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；

（Ⅱ） 令f′（x）＝ex[x2+（a+2）x）]＝0，可解得x＝﹣（a+2）或x＝0，對﹣（a+2）與0的大小關系分類討論，可求得關于x的方程f（x）＝k在[0，+∞）上有兩個不相等的實數根的k的取值范圍．

解：(Ⅰ)由可得

.

當時,,.

所以 曲線在點處的切線方程為，

即

（Ⅱ） 令，

解得或

當，即時，在區間上，，所以是上的增函數.

所以 方程在上不可能有兩個不相等的實數根.

當，即時，隨的變化情況如下表

		↘		↗

由上表可知函數在上的最小值為.

因為 函數是上的減函數，是上的增函數，

且當時，有.

所以 要使方程在上有兩個不相等的實數根，的取值范圍必須是

.