Question

定議在上的單調函數滿足，且對任意都有
（1）求證：為奇函數；
（2）若對任意恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）詳見解析：（2）.

試題分析：（1）賦值法求解，再尋找之間的關系；（2）先研究函數的單調性，再利用奇偶性化為，即對任意的恒成立，再轉化為二次函數知識求解.本題考查了恒成立問題以及化歸與轉化思想.
試題解析：（1）證明：①
令，代入①式，得即
令，代入①式，得，又
則有即對任意成立，
所以是奇函數.                             4分
（2）解：，即，又在上是單調函數，
所以在上是增函數.
又由（1）是奇函數.
對任意成立.
令，問題等價于對任意恒成立.         8分
令其對稱軸.
當時，即時，，符合題意；
當時，對任意恒成立
解得                          12分
綜上所述當時，對任意恒成立.