Question

【題目】點、、分別是正方體的棱,,的中點,則下列命題中的真命題是__________（寫出所有真命題的序號）.

①以正方體的頂點為頂點的三棱錐的四個面中最多可以四個面都是直角三角形;

②點在直線上運動時,總有;

③點在直線上運動時,三棱錐的體積是定值;

④若是正方體的面,（含邊界）內一動點,且點到點和的距離相等,則點的軌跡是一條線段.

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

根據題意畫出正方體.

根據圖像可知四個面都是直角三角形,①對;根據圖象易證面,所以不論點在直線上如何運動,總有,②對;根據等體積關系有,面不變,但高在變,所以三棱錐的體積不是定值,③錯;

④以為軸,以為軸建平面直角坐標系,設,棱長為1.根據距離公式可得,.且, 的軌跡是線段.④對.

解:畫出正方體.

①四面體及四個面都是直角三角形,①對;

②在平面中有,又正方體中,從而可以得到面,所以不論點在直線上如何運動,總有,②對;

③因為,面不變,底面面積不變,點在直線上運動時,點到平面的距離在變,即高在變,所以三棱錐的體積不是定值,③錯;

④以為軸,以為軸在平面所在平面建平面直角坐標系,設,棱長為1.則,.因為,所以,即的軌跡是線段.④對.

故答案為: ①②④