Question

已知函數f（x）=e^x，過該函數圖象上點（1，f（1））的切線為g（x）=kx+b
（Ⅰ）證明：y=f（x）圖象上的點總在y=g（x）圖象的上方；
（Ⅱ）若e^x≥ax在x∈R上恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據題意，可得g（x）=ex，可以設h（x）=f（x）-g（x）=e^x-ex，對h（x）求導，分析其單調性，進而可得h（x）取最小值h（1）=0，即可得h（x）=f（x）-g（x）≥0，即f（x）≥g（x），由函數的性質，可得證明；
（Ⅱ）當x≠0時，令F（x）=

ex

x

，求導可得F′（x）=

ex(x-1)

x2

，列表分析其單調性，進而分①x＞0，②x＜0，兩種情況討論，再分析③x=0的情況，求出a的取值范圍，綜合可得答案．

解答：解：（Ⅰ）f（1）=e，則g（x）=kx+b中，k=e，
g（x）過點（1，f（1）），則有e=e+b，則b=0，g（x）=ex，
設h（x）=f（x）-g（x）=e^x-ex，
h′（x）=e^x-e，
當x＞1時，h′（x）＞0，h（x）為增函數，
當x＜1時，h′（x）＜0，h（x）為減函數，
當x=1時，h（x）取最小值h（1）=f（1）-g（1）=0，
則有h（x）≥h（1）=0，即f（x）-g（x）≥0，有f（x）≥g（x），
所以y=f（x）圖象上的點總在y=g（x）圖象的上方；
（Ⅱ）當x≠0時，令F（x）=

ex

x

，
F′（x）=

ex(x-1)

x2

列表可得，

x	（-∞，0）	（0，1）	1	（1，+∞）
F‘（x）	-	-	0	+
F（x）	減	減	e	增

①當x＞0時，F（x）在x=1時有最小值e，

ex

x

≥a，即e^x≥ax恒成立的a的范圍是a≤e；
②當x＜0時，F（x）為減函數，
x→0，F（x）→-∞，
F（x）＜0，

ex

x

＜0，

ex

x

≤a，即e^x≥ax恒成立的a的范圍是a≥0；
③當x=0時，易得a∈R，
②當x＜0時，F（x）為減函數，
綜合①②③，e^x≥ax恒成立的a的范圍是[0，e]．

點評：本題考查導數的計算與應用，關鍵是將導數的性質與函數的性質聯系起來，如（Ⅰ）中，要證y=f（x）圖象上的點總在y=g（x）圖象的上方，只需證明對于x∈R，有f（x）≥g（x）．