Question

【題目】已知直線與拋物線相交于兩個不同點，點是拋物線在點處的切線的交點。

（1）若直線經過拋物線的焦點，求證：；

（2）若，且直線經過點，求的最小值。

Answer 1

【答案】(1)見證明；(2)1

【解析】

(1)求得拋物線焦點的坐標，當直線的斜率時，設出直線方程，聯立直線的方程和拋物線方程，寫出韋達定理.求得過點切線的方程，聯立兩條切線方程求得交點的坐標，計算，由此證得.當直線的斜率時，根據直線的方程和點的坐標證得.從而證得成立.（2）根據題意求得拋物線的方程，當直線的斜率時，設出直線的方程，代入拋物線方程，寫出韋達定理，由弦長公式求得，求得點坐標后利用點到直線的距離公式求得三角形的高，由此求得三角形面積的表達式，利用配方法求得面積的最小值.當直線的斜率時，求得三角形的面積為.綜上，的最小值為.

解：（1）由題意可得，

②當時，設直線，點的坐標分別為，

由得，∴，

過點的切線方程為，即，

過點的切線方程為，

由得，∴，

∵，∴；

②當時，則直線，∴；

（2）由題意可得，

①當時，設直線，點的坐標分別為，

由，得，∴，

∴，

由（1）可得過點的切線方程分別為，

由得，∴，

∴到直線的距離，

∴，

當時，取最小值1；

②當時，則直線，∴，

綜上，的最小值為1。