Question

【題目】已知函數，，其中為自然對數的底數，.

（1）求證：；

（2）若對于任意，恒成立，求的取值范圍；

（3）若存在，使，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）；

（3）或.

【解析】

（1）對利用導數研究函數的單調性及最小值，進而證明不等式；

（2）由題意得，對分成三種情況討論，進而利用參變分離，構造新函數，利用導數研究新函數的最值，從而得到的取值范圍；

（3）設，題設等價于函數有零點時的的取值范圍，先對函數進行求導得，再對分成三種情況進行研究函數的零點.

解：（1）令，得，

當時，；當時，，

所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，

所以函數在處取得最小值，因為，

所以.

（2）由題意，得，

當，不等式顯然成立，此時；

當時，，所以，

當時，，所以，

記，，

∴在區間和上為增函數，和上為減函數.

∴當時，，

當時，，

綜上所述的取值范圍為.

（3）設，題設等價于函數有零點時的的取值范圍.

當，，恒成立，

所以在單調遞增，

，

若，則，

只需，則，則，

所以有零點.

當時，，對恒成立，

所以無零點，不成立.

當時，，得，

則時，所以在單調遞減；

時，所以在在單調遞增，

所以，

①時，，，

又，

所以有零點；

②時，，

所以有零點；

③時，，，

所以無零點，不成立.

綜上，的取值范圍是或.