【題目】已知函數
，(
是自然對數的底數).
（1）求
的單調區間；
（2）若函數
，證明：
有極大值
，且滿足
.
【答案】（1）函數
的減區間為
，增區間為
.（2）證明見解析
【解析】
（1）直接求出函數的導函數，令
，解得
，即可求出函數的單調區間；
（2）首先求出
的導函數，設
，再對
求導，說明其單調性，根據函數零點存在性定理可得在
上存在極大值；
解：（1）
，設，
，
∴當
時，
，單調遞減；
當
時，
，單調遞增. 即函數的減區間為；增區間為.
（2）因為
，
設，且
∵
， 在時，
，所以在上單調遞增，
∴
.
∴
，在上是單調遞增，∴沒有極值.
令
，解得
. 在
時，
，單調遞減，
∴
，
. 由根的存在性定理：設
，使得：
，
即
.
∵在
，
，∴單調遞增； 在
，
，∴單調遞減；∴有極大值
.∵有
. 又∵
，
∴
，
.
綜上可得：函數有極大值，且滿足
.
亮點激活精編提優100分大試卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】(1)利用“五點法”畫出函數
在長度為一個周期的閉區間的簡圖.
列表:
| |||||
x | |||||
y |
作圖:
(2)并說明該函數圖象可由
的圖象經過怎么變換得到的.
(3)求函數
圖象的對稱軸方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f(x)=sin2xsin2x.
（1）討論f(x)在區間(0，π)的單調性；
（2）證明：
；
（3）設n∈N*，證明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】隨著智能手機的普及，手機計步軟件迅速流行開來，這類軟件能自動記載每個人每日健步的步數，從而為科學健身提供一定的幫助.某市工會為了解該市市民每日健步走的情況，從本市市民中隨機抽取了2000名市民（其中不超過40歲的市民恰好有1000名），利用手機計步軟件統計了他們某天健步的步數，并將樣本數據分為
，
，
，
，
，
，
，
，
九組（單位；千步），將抽取的不超過40歲的市民的樣本數據繪制成頻率分布直方圖如圖，將40歲以上的市民的樣本數據繪制成頻數分布表如下，并利用該樣本的頻率分布估計總體的概率分布.
分組（單位 千步） |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
頻數 | 10 | 20 | 20 | 30 | 400 | 200 | 200 | 100 | 20 |
（1）現規定，日健步步數不低于13000步的為“健步達人”，填寫下面列聯表，并根據列聯表判斷能否有99.9%的把握認為是否為“健步達人”與年齡有關；
健步達人 | 非健步達人 | 總計 | |
40歲以上的市民 | |||
不超過40歲的市民 | |||
總計 |
（2）利用樣本平均數和中位數估計該市不超過40歲的市民日健步步數（單位：千步）的平均數和中位數；
（3）若日健步步數落在區間
內，則可認為該市民”運動適量”，其中
，
分別為樣本平均數和樣本標準差，計算可求得頻率分布直方圖中數據的標準差約為3.64.若一市民某天的健步步數為2萬步，試判斷該市民這天是否“運動適量”？
參考公式：
.
參考數據：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
為等差數列，各項為正的等比數列
的前
項和為
，
，
，__________.在①
；②
；③
這三個條件中任選其中一個，補充在橫線上，并完成下面問題的解答（如果選擇多個條件解答，則以選擇第一個解答記分）.
（1）求數列和的通項公式；
（2）求數列
的前項和
.
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