Question

(本小題滿分12分)
如圖，三棱柱中，側面為菱形，.

（Ⅰ）證明：;
（Ⅱ）若，,,求二面角的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）

解析試題分析：（Ⅰ）由側面為菱形得，結合得平面，故，且為的中點．故垂直平分線段，則；（Ⅱ）求二面角大小，可考慮借助空間直角坐標系．故結合已知條件尋找三條兩兩垂直相交的直線是解題關鍵．當且時，三角形為等腰直角三角形，故，結合已知條件可判斷，故，從而兩兩垂直．故以為坐標原點，的方向為軸正方向建立空間直角坐標系，用坐標表示相關點的坐標．分別求半平面和的法向量，將求二面角問題轉化為求法向量夾角處理．
試題解析：（I）連接，交于，連接．因為側面為菱形，所以，且為與的中點．又，所以平面，故．又,故．
（II）因為，且為的中點，所以，又因為，．故，從而兩兩垂直．以為坐標原點，的方向為軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系．因為，所以為等邊三角形．又,則，，，．
,,．
設是平面的法向量，則即所以可取．
設是平面的法向量，則同理可取．
則