Question

已知等比數列{a_n}的前n項和S_n=2ⁿ-a，n∈N^*．設公差不為零的等差數列{b_n}滿足：b₁=a₁+2，且b₂+5，b₄+5，b₈+5成等比．
（Ⅰ） 求a及b_n；
（Ⅱ） 設數列{a_n}的前n項和為T_n．求使T_n＞b_n的最小正整數n的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由等比數列{a_n}的前n項和S_n=2ⁿ-a，n∈N^*，先分別求出a₁，a₂，a₃，由，能求出a；由公差不為零的等差數列{b_n}滿足：b₁=a₁+2，且b₂+5，b₄+5，b₈+5成等比數列，列方程組先求出首項和公差，由此能求出b_n．
（Ⅱ）由，知a_n==2（n-1），故數列{a_n}的前n項和T_n=n（n-1）．由此能求出使T_n＞b_n的最小正整數n的值．
解答：解：（Ⅰ）∵等比數列{a_n}的前n項和S_n=2ⁿ-a，n∈N^*，
∴a₁=S₁=2-a，
a₂=（2²-a）-（2-a）=2，
a₃=（2³-a）-（2²-a）=4，
∵，
∴2²=（2-a）•4，解得a=1，
∴．
∵公差不為零的等差數列{b_n}滿足：b₁=a₁+2，且b₂+5，b₄+5，b₈+5成等比數列，
∴，
∴（8+3d）²=（8+d）（8+7d），
解得d=0（舍），或d=8，
∴b_n=8n-5，n∈N^*．
（Ⅱ）∵，∴a_n==2（n-1），
∴數列{a_n}的前n項和
T_n=2（1-1）+2（2-1）=2（3-1）+2（4-1）+…+2（n-1）
=2[0+1+2+3+…+（n-1）]
=2×
=n（n-1）．
∵b_n=8n-5，T_n＞b_n，
∴n（n-1）＞8n-5，
∵n∈N^*，∴n≥9，
∴使T_n＞b_n的最小正整數n的值是9．
點評：本題主要考查等差、等比數列的概念，通項公式及求和公式等基礎知識，同時考查運算求解能力．