Question

【題目】已知二次函數的對稱軸為，.

（1）求函數的最小值及取得最小值時的值；

（2）試確定的取值范圍，使至少有一個實根；

（3）當時，，對任意有恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），此時；（2）的取值范圍為；（3）實數的取值范圍為.

【解析】

試題分析：（1）利用基本不等式易得，此時.（2）至少有一個實根，即與的圖象在上至少有一個交點，由題意，可得，，則需即可；（3）由題意，可得，對任意有恒成立，即，令，，∴，∴，

令，討論函數的單調性，即可得到實數的取值范圍.

試題解析：（1）∵，∴，

∴，當且僅當，即時“=”成立，即，此時.

（2）的對稱軸為，∴，∴，

至少有一個實根，∴至少有一個實根，

即與的圖象在上至少有一個交點，

，∴，，

∴，∴，∴的取值范圍為.

（3）∵，∴，

∴對任意有恒成立，∴，

令，，∴，∴，

令，設為上任意兩不等實數，且，

∴，

∵，∴，，∴，

∴在上單調遞增，

∴，∴.

∴實數的取值范圍為.