Question

【題目】已知定義域為的函數（常數，為自然對數的底數）.

（Ⅰ）求函數的單調區間；

（Ⅱ）若恒成立，求實數的最大整數值.

Answer 1

【答案】(1) 時，的單調遞增區間為，無遞減區間；時，的單調遞增區間為，遞減區間為.

(2) 的最大整數值為3.

【解析】分析：（Ⅰ）先求導，再分類討論，即可求出函數的單調區間，

（Ⅱ）分離參數，轉化為對于恒成立.再根據導數與函數的最值的關系，通過分類討論，求出的取值范圍，進而求出的最大整數值.

詳解：解：（Ⅰ）.

①當時，由，得，此時在上為增函數.

②當時，令，有，

∴在上為增函數，

令，有，∴在上為減函數，

綜上，時，的單調遞增區間為，無遞減區間；時，的單調遞增區間為，遞減區間為.

（Ⅱ）∵對于恒成立，

即對于恒成立.

由函數的解析式可得：，分類討論：

①由（Ⅰ）知，時，在上為增函數，

∴，

∴恒成立，∴.

②當時，在上為減函數，在上為增函數i.

∴，∴，

∴，

設，

∴，

∴在上遞增，而，

，，，

∴在上存在唯一使得，且，

∵，∴的最大整數值為3，使，即的最大整數值為3.

綜上，的最大整數值為3.