Question

已知函數．
（1）當時，如果函數g（x）=f（x）-k僅有一個零點，求實數k的取值范圍；
（2）當a=2時，試比較f（x）與1的大��；
（3）求證：（n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用函數f（x）的導數求出它的單調區間和極值，由題意知 k大于f（x）的極大值，或 k小于f（x）的極小值．
（2）令h（x）=f（x）-1，由h′（x）＞0得h（x）在（0，+∞）上是增函數，利用h（1）=0，分x＞1、
0＜x＜1、當x=1三種情況進行討論．
（3）根據（2）的結論，當x＞1時，，令，有，可得 ，由 ，證得結論．
解答：解：（1）當時，，定義域是（0，+∞），
 求得，令f'（x）=0，得，或x=2．
∵當或x＞2時，f'（x）＞0； 當時，f'（x）＜0，
∴函數f（x）在（0，]、（2，+∞）上單調遞增，在上單調遞減．
∴f（x）的極大值是 ，極小值是 ．
∵當x趨于 0時，f（x）趨于-∞；當x趨于+∞時，f（x）趨于+∞，
由于當g（x）僅有一個零點時，函數f（x）的圖象和直線y=k僅有一個交點，
k的取值范圍是{k|k＞3-ln2，或}．
（2）當a=2時，，定義域為（0，+∞）．
令，∵，
∴h（x）在（0，+∞）上是增函數．  ①當x＞1時，h（x）＞h（1）=0，即f（x）＞1；
②當0＜x＜1時，h（x）＜h（1）=0，即f（x）＜1；  ③當x=1時，h（x）=h（1）=0，即f（x）=1．
（3）證明：根據（2）的結論，當x＞1時，，即．
令，則有，∴．
∵，∴．
點評：本題主要考查函數導數運算法則、利用導數求函數的極值、證明不等式等基礎知識，考查分類討論思想和數形結合思想，考查考生的計算能力及分析問題、解決問題的能力和創新意識，屬于中檔題．