Question

已知函數是定義在上的奇函數，當時，（為常數）。

（1）求函數的解析式；

（2）當時，求在上的最小值，及取得最小值時的，并猜想在上的單調遞增區間（不必證明）；

（3）當時，證明：函數的圖象上至少有一個點落在直線上。

Answer 1

（1）（2）增區間為(3)見解析

解析:

（1）時，， 則 ， ∵函數是定義在上的奇函數，即，∴，

即 ，又可知 ，∴函數的解析式為  ，；

（2），∵，，∴，

∵ ，∴，

即 時， 。

猜想在上的單調遞增區間為。

（3）時，任取，

∵， ∴在上單調遞增，即，即，，

∴，∴，∴當時，函數的圖象上至少有一個點落在直線上。