Question

已知a，b∈（0，1），則a+b=1是不等式ax²+by²≥（ax+by）² 對任意的x，y∈R恒成立的（　　）

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

Answer 1

分析：結合不等式的性質，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷．

解答：解：∵ax²+by²-（ax+by）²
=（a-a²）x²+（b-b²）y²-2abxy
=a（1-a）x²+b（1-b）y²-2abxy，
又∵a+b=1，a，b∈（0，1），
∴原式=abx²+aby²-2abxy=ab（x-y）²≥0，
∴ax²+by²≥（ax+by）²，成立．
當x=y=1時，不等式等價為a+b≥（a+b）²，
即（a+b）（a+b-1）≤0，
∵a，b∈（0，1），
∴a+b-1≤0，即a+b≤1．
∴a+b=1是不等式ax²+by²≥（ax+by）² 對任意的x，y∈R恒成立的充分不必要條件．
故選：A．

點評：本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用不等式的性質是解決本題的關鍵．