Question

已知實數4，m，9構成一個等比數列，m為等比中項，則圓錐曲線

x2

m

+y2=1的離心率是

30

6

或

7

．

Answer 1

分析：根據等比中項列式，求出m=±6．再分別根據m=6和m=-6求出相應的圓錐曲線方程，利用離心率的公式加以計算，即可得到該圓錐曲線的離心率．

解答：解：∵實數4，m，9構成一個等比數列，
∴m²=4×9=36，得m=±6
當m=6時，圓錐曲線為橢圓

x2

6

+y2=1，得a=

6

，b=1
∴c=

a2-b2

=

5

，離心率為e=

c

a

=

30

6

當m=-6時，圓錐曲線為雙曲線

x2

-6

+y2=1即y2-

x2

6

=1，
得a'=1，b'=6，所以c'=

a′2+b′2

=

7

∴雙曲線的離心率e=

c′

a′

=

7

綜上所述，該圓錐曲線的離心率為

30

6

或

7

故答案為：

30

6

或

7

點評：本題給出含有字母參數的圓錐曲線方程，求圓錐曲線的離心率．著重考查了等比中項的定義與列式、橢圓和雙曲線的標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．