Question

22.設橢圓的左、右焦點分別為是橢圓上的一點，，原點到直線的距離為.

(Ⅰ)證明；

(Ⅱ)求使得下述命題成立：設圓上任意點處的切線交橢圓于，兩點，則.

Answer 1

本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線方程、兩條直線垂直、圓的方程等基礎知識，考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法及推理、運算能力.

(Ⅰ)證法一：由題設及，，不妨設點，其中

，由于點在橢圓上，有，即

，

解得，從而得到，

直線的方程為，整理得

.

由題設，原點到直線的距離為，即

，

將代入原式并化簡得，即.

證法二：同證法一，得到點的坐標為，

過點作，垂足為B，易知，故

由橢圓定義得，又，所以

，

解得，而，得，即.

(Ⅱ)解法一：圓上的任意點處的切線方程為.

當時，圓上的任意點都在橢圓內，故此圓在點M處的切線必交橢圓于兩個不同的點和，因此點，的坐標是方程組

的解.當時，由①式得

代入②式，得，即

，

于是，

.

若，則

.

所以，.由，得.在區間內此方程的解為.

當時，必有，同理求得在區間內的解為.

另一方面，當時，可推出，從而.

綜上所述，使得所述命題成立.

解法二：圓x²+y²=t²上的任意點M(x₀,y₀)處的切線方程為x₀x+y₀y=t².

當t∈(0,b)時，圓x²+y²=t²上的任意點都在橢圓內，故此圓在點M處的切線必交橢圓于兩個不同的點Q₁和Q₂,因此點Q₁(x₁,y₁),Q₂(x₂,y₂)的坐標是方程組

的解，由①式得

y₀y=t²-x₀x,                         ③

②式兩端同乘以，得

�、�

將③式代入④式得，，整理得

　

所以

再由①式得

x₀x=t²-y₀y,                        ⑤

②式兩端同乘以，得

�、�

將⑤式代入⑥式得，整理得

。

所以

.

 若則

.

所以，由，得3t⁴-2b²t²=0.在區間(0,b)內此方程的解為

。

另一方面，當時，可推出x₁x₁+y₁y₂=0,從而，

綜上所述，使得所述命題成立。