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定義F（x，y）=（1+x）y，x，y∈（0，+∞），令函數f（x）=F（1，log2（x2-4x+9））的圖象為曲線C，曲線C與y軸交于點A（0，m），過坐標原點O向曲線C作切線，切點為B（n，t）（n＞0），設曲線C在點A、B之間的曲線段與線段OA、OB所圍成圖形的面積為S，求S的值．
分析：欲求圍成圖形的面積，利用定積分計算面積，故先要求出被積函數及積分上下限．所以要求出在切點處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導數求出在x=n處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
解答：解：∵F（x，y）=（1+x）y
∴f（x）=F（1，log2（x2-4x+9））=2log2（x2-4x+9）=x2-4x+9，
故A（0，9），
又過坐標原點O向曲線C作切線，
切點為B（n，t）（n＞0），f′（x）=2x-4．
∴
t=n2-4n+9
t
n
=2n-4
，
解得B（3，6），
∴S=
∫
3
0
(x2-4x+9-2x)dx=(
x3
3
-3x29x)
|
3
0
=9．
點評：本小題主要考查直線的斜率、導數的幾何意義、利用導數研究曲線上某點切線方程、定積分在求面積中的應用等基礎知識，考查運算求解能力．屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知M是△ABC內的一點（不含邊界），且
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面積分別為x，y，z．
（1）x+y+z=
 
；
（2）定義f（x，y，z）=
1
x
+
4
y
+
9
z
，則f（x，y，z）的最小值是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

定義F（x，y）=（1+x）y，x，y∈（0，+∞），
（1）令函數g（x）=F（1，log2（x3+ax2+bx+1））的圖象為曲線C，若存在實數b使得曲線C在x0（-4＜x0＜-1）處有斜率為-8的切線，求實數a的取值范圍
（2）當x，y∈N*且x＜y時，證明F（x，y）＞F（y，x）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

定義F（x，y）=（1+x）y，x，y∈（0，+∞），
（Ⅰ）令函數f(x)=F(3，log2(2x-x2+4))，寫出函數f（x）的定義域；
（Ⅱ）令函數g(x)=F(1，log2(x3+ax2+bx+1))的圖象為曲線C，若存在實數b使得曲線C在x0（-4＜x0＜-1）處有斜率為-8的切線，求實數a的取值范圍
（Ⅲ）當x，y∈N*且x＜y時，求證F（x，y）＞F（y，x）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2007•汕頭二模）定義F（x，y）=（1+x）y，x，y∈（0，+∞），
（Ⅰ）令函數f(x)=F(1，log2(x2-4x+9))的圖象為曲線C1，曲線C1與y軸交于點A（0，m），過坐標原點O向曲線C1作切線，切點為B（n，t）（n＞0），設曲線C1在點A、B之間的曲線段與線段OA、OB所圍成圖形的面積為S，求S的值；
（Ⅱ）令函數g(x)=F(1，log2(x3+ax2+bx+1))的圖象為曲線C2，若存在實數b使得曲線C2在x0（-4＜x0＜-1）處有斜率為-8的切線，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）當x，y∈N*且x＜y時，證明F（x，y）＞F（y，x）．

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