Question

（文）定義在R上函數f（x）對任意實數x、y∈R都有f（x+y）=f（x）•f（y），且當x＜0時，f（x）＞1．
（1）證明當x＞0時，0＜f（x）＜1；
（2）判斷函數f（x）的單調性并證明；
（3）如果對任意實數x、y有f（x²）•f（y²）≤f（axy）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令x=0，y=-1，可求得f （0）=1，再令x＞0得-x＜0，利用已知當x＜0時，f（x）＞1即可證得x＞0時，0＜f（x）＜1；
（2）設x₁、x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，作差f （x₂）-f （x₁）=f[x₁+（x₂-x₁）]-f （x₁）=[f （x₂-x₁）-1]f （x₁）結合題意，判斷其符號即可；
（3）依題意，f（x²）•f（y²）≤f（axy）恒成立，函數f（x）為減函數?x²+y²≥axy 對任意實數x、y恒成立?|a|≤|

x

y

|+|

y

x

|對任意實數x、y恒成立，由基本不等式即可求實數a的取值范圍．

解答：證明：（1）令x=0，y=-1則f （0-1）=f （0）•f （-1）（∵f （-1）≠0）⇒f （0）=1         …（2分）
當 x＜0時，f （x）＞1＞0，
當 x＞0時，-x＜0
∴f （-x）＞1＞0，又f （0）=f （-x）•f （x）=1，
∴0＜f （x）=

1

f(-x)

＜1，即對任意x＞0，恒有0＜f （x）＜1                                  …（5分）
（2）f （x）在R上是減函數                                          …（7分）
證明：設x₁、x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂；
f （x₂）-f （x₁）=f[x₁+（x₂-x₁）]-f （x₁）
=f （x₂-x₁）•f （x₁）-f （x₁）=[f （x₂-x₁）-1]f （x₁），
∵x₂-x₁＞0，
∴f （x₂-x₁）＜1，
∴f （x₂）-f （x₁）＜0，
∴[f （x₂-x₁）-1]f （x₁）＜0，
∴f （x）在（-∞，+∞）上是減函數．                          …（10分）
（3）∵f （x²）•f （y²）=f （x²+y²）≤f （axy），
∴x²+y²≥axy 對任意實數x、y恒成立，
即x²+y²≥|axy|=|a||x||y|對任意實數x、y恒成立，
∴|a|≤|

x

y

|+|

y

x

|對任意實數x、y恒成立，
∴|a|≤2，即-2≤a≤2為所求．…（14分）

點評：本題考查抽象函數的應用，考查函數的單調性的判斷與證明，突出考查等價轉化思想的運用，考查基本不等式，綜合性強，難度大，屬于難題．