Question

設二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0且b≠0)． (1) 已知f(x)的對稱軸方程是x＝1，當f(x)的圖象在x軸上截得的弦長不小于2時，試求a、b、c滿足的條件 (2) 若｜f(0)｜≤1，｜f(－1)｜≤1，｜f(1)｜≤1，證明：｜b｜≤1，｜a｜≤2．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：依題意，得－＝1． 　　即b＝－2a．∵a＞0且b≠0，∴b＜0． 　　令f(x)＝0的兩根為x1、x2，則函數y＝f(x)的圖象與x軸的兩個交點為(x1，0)，(x2，0)，且x1＋x2＝2，x1x2＝，滿足題設的充要條件是 　　 　　∴a＞0，c≤0，b＜0且b＝－2a為所求．
(2)	∵｜2b｜＝｜(a＋b＋c)－(a－b＋c)｜≤｜a＋b＋c｜＋｜a－b＋c｜＝｜f(1)｜＋｜f(－1)｜≤2，即｜b｜≤1． 　　∴｜2a＋2c｜＝｜(a＋b＋c)＋(a－b＋c)｜≤｜a＋b＋c｜＋｜a－b＋c l＝｜f(1)｜＋｜f(－1)｜≤2． 　　∴｜a＋c｜≤1，∴－1≤a＋c≤1， 　　又∵｜c｜＝｜f(0)｜≤1，∴－1≤c≤1， 　　∴－2≤a≤2，∴｜a｜≤2． 　　分析：(1)根據題設條件，并利用韋達定理可以得到a、b、c滿足的條件；(2)將條件轉化成關于a、b、c的絕對值不等式．再利用絕對值不等式．｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜進行放縮后，可使問題獲證．