Question

【題目】有一個同學家開了一個小賣部，他為了研究氣溫對熱飲飲料銷售的影響，經過統計，得到一個賣出的熱飲杯數與當天氣溫的散點圖和對比表：

攝氏溫度
熱飲杯數

（1）從散點圖可以發現，各點散布在從左上角到右下角的區域里。因此，氣溫與當天熱飲銷售杯數之間成負相關，即氣溫越高，當天賣出去的熱飲杯數越少。統計中常用相關系數來衡量兩個變量之間線性關系的強弱.統計學認為，對于變量、，如果，那么負相關很強；如果，那么正相關很強；如果，那么相關性一般；如果，那么相關性較弱。請根據已知數據，判斷氣溫與當天熱飲銷售杯數相關性的強弱.

（2）（i）請根據已知數據求出氣溫與當天熱飲銷售杯數的線性回歸方程；

（ii）記為不超過的最大整數，如，.對于（i）中求出的線性回歸方程，將視為氣溫與當天熱飲銷售杯數的函數關系.已知氣溫與當天熱飲每杯的銷售利潤的關系是 （單位：元），請問當氣溫為多少時，當天的熱飲銷售利潤總額最大？

（參考公式），，

（參考數據），， .

，，，.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2) （i）（ii）時，當天的熱飲銷售利潤總額最大，且最大為元

【解析】

(1)由已知數據，求出相關系數，可得到結論．

（2）（i）將參考數據代入參考公式中，求出回歸系數和，寫出回歸方程；

（ii）將利潤總額的關系式列出，利用的意義將寫成分段函數，利用函數單調性求最大值.

（1）因為

.

所以氣溫與當天熱飲銷售杯數的負相關很強.

（2）（i）因為 ，.

所以氣溫與當天熱飲銷售杯數的線性回歸方程為.

（ii）由題意可知氣溫與當天熱飲銷售杯數的關系為.

設氣溫為時，則當天銷售的熱飲利潤總額為 ，

即.

易知，，.

故當氣溫時，當天的熱飲銷售利潤總額最大，且最大為元.