Question

已知橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F₂．
（Ⅰ）若橢圓的焦距為，且兩條準線間的距離為，求橢圓的方程；
（Ⅱ）在（I）的條件下，橢圓上有一點M，滿足MF₁⊥MF₂，求△MF₁F₂的面積；
（Ⅲ）過焦點F₂作橢圓長軸的垂線與橢圓交于第一象限點P，連接PO并延長交橢圓于點Q，連接QF₂并延長交橢圓于點H，若PH⊥PQ，求橢圓的離心率．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由橢圓的焦距可求c，再由兩條準線間的距離為可求a，利用條件b²=a²-c²求出b²，則橢圓的方程可求；
（Ⅱ）因為點M在橢圓上，利用橢圓定義得到MF₁+MF₂=4，由MF₁⊥MF₂得到兩式聯立得到MF₁•MF₂=2，則△MF₁F₂的面積可求；
（Ⅲ）首先求出P點坐標，利用對稱性求出Q點坐標，寫出直線QF₂的方程后和橢圓聯立求出H的坐標，然后利用PH和PQ所在直線的斜率之積等于-1得到a，b的關系式，則離心率可求．
解答：解：（Ⅰ）由題意可知，∴，
由，得a²==4，
∴b²=a²-c²=4-3=1．
即橢圓的方程為；
（Ⅱ）由橢圓定義得MF₁+MF₂=4 ①
因為MF₁⊥MF₂，所以 ②
將①²-②：得MF₁•MF₂=2
故△MF₁F₂的面積=1；      
（Ⅲ）把x=c代入橢圓，得，
所以點P的坐標為，則，F₂（c，0），
直線QF₂方程為，即，
與橢圓聯立得H點坐標為，
由PH⊥PQ得，k_PQ•k_PH=-1，即，
化簡得a²=2b²，
即 a²=2（a²-c²），即 ，又0＜e＜1，所以．
點評：本題考查了橢圓的標準方程，考查了直線和圓錐曲線的關系，該題思路清晰，運算復雜，考查了學生的運算能力．屬難題．