Question

【題目】已知半徑為5的圓的圓心在x軸上，圓心的橫坐標是整數，且與直線4x+3y﹣29＝0相切．

（1）求圓的方程；

（2）設直線ax﹣y+5＝0（a＞0）與圓相交于A，B兩點，求實數a的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，是否存在實數a，使得弦AB的垂直平分線l過點P（﹣2，4），若存在，求出實數a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（x﹣1）2+y2＝25．（2）（）．（3）存在，

【解析】

（1）設圓心為M（m，0），根據相切得到，計算得到答案.

（2）把直線ax﹣y+5＝0，代入圓的方程，計算△＝4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0得到答案.

（3）l的方程為，即x+ay+2﹣4a＝0，過點M（1，0），計算得到答案.

（1）設圓心為M（m，0）（m∈Z）．由于圓與直線4x+3y﹣29＝0相切，且半徑為5，

所以 ，即|4m﹣29|＝25．因為m為整數，故m＝1．

故所求圓的方程為（x﹣1）2+y2＝25．

（2）把直線ax﹣y+5＝0，即y＝ax+5，代入圓的方程，消去y，

整理得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1＝0，

由于直線ax﹣y+5＝0交圓于A，B兩點，故△＝4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，

即12a2﹣5a＞0，由于a＞0，解得a，所以實數a的取值范圍是（）．

（3）設符合條件的實數a存在，則直線l的斜率為，

l的方程為，即x+ay+2﹣4a＝0，

由于l垂直平分弦AB，故圓心M（1，0）必在l上，

所以1+0+2﹣4a＝0，解得．由于，故存在實數

使得過點P（﹣2，4）的直線l垂直平分弦AB.