Question

已知函數f(x)=alnx-

1

x

，a為常數．
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x+2y-5=0垂直，求實數a的值；
（2）求f（x）的單調區間；
（3）當x≥1時，f（x）≤2x-3恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導函數，利用導數的幾何意義，即可求得實數a的值；
（2）求導函數，分類討論，利用導數大于0可得函數的單調增區間，導數小于0可得函數的單調減區間；
（3）設g（x）=alnx-

1

x

-2x+3，x∈[1，+∞），求導函數g′(x)=

-2x2+ax+1

x2

，設h（x）=-2x²+ax+1，h（0）=1＞0，分類討論
：當a≤1時，可得g（x）在[1，+∞）上是減函數從而g（x）≤g（1）=0，即f（x）≤2x-3；當a＞1時，令h（x）=-2x²+ax+1=0得x1=

a+ a2+8

4

＞1，x2=

a- a2+8

4

＜ 0，從而可得f（x₁）＞2x-3，不滿足題意，故可求實數a的取值范圍．

解答：解：（1）函數f（x）的定義域為{x|x＞0}，f′(x)=

ax+1

x2

．
又曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x+2y-50垂直，
所以f'（1）=a+1=2，即a=1．                          …（4分）
（2）由f′(x)=

ax+1

x2

，
當a≥0時，f'（x）＞0恒成立，所以f（x）的單調增區間為（0，+∞）．
當a＜0時，由f'（x）＞0，得0＜x＜-

1

a

，所以f（x）的單調增區間為(0，-

1

a

)；
由f'（x）＜0，得x＞-

1

a

，所以f（x）的單調減區間為(-

1

a

，+∞)．  …（10分）
（3）設g（x）=alnx-

1

x

-2x+3，x∈[1，+∞），∴g′(x)=

-2x2+ax+1

x2

設h（x）=-2x²+ax+1，h（0）=1＞0
當a≤1時，h（x）=-2x²+ax+1的對稱軸為x=

a

4

＜1，h（x）在[1，+∞）上是減函數，h（x）≤h（1）=a-1≤0
∴g′（x）≤0，g（x）在[1，+∞）上是減函數
∴g（x）≤g（1）=0，即f（x）≤2x-3
當a＞1時，令h（x）=-2x²+ax+1=0得x1=

a+ a2+8

4

＞1，x2=

a- a2+8

4

＜ 0
當x∈[1，x₁）時，h（x）＞0，g′（x）＞0，g（x）在[1，x₁）上是增函數；
當x∈（x₁，+∞）時，h（x）＜0，g′（x）＜0，g（x）在[1，x₁）上是減函數；
∴g（1）＜g（x₁），即f（x₁）＞2x-3，不滿足題意
綜上，實數a的取值范圍為a≤1

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查導數的幾何意義，考查學生分析解決問題的能力，解題的關鍵是正確求導函數．