Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2a_n-2（n=1，2，3…），數列{b_n}中，b₁=1，點P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上。
（Ⅰ）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）記S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，求滿足S_n＜167的最大正整數n。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵，
∴當n≥2時，，
即，
∵，
∴，
即數列{a_n}是等比數列，
，
，

∵點P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上，
∴，
∴，
即數列{b_n}是等差數列，
又，
∴。
（Ⅱ）
，①
，②
①-②得，
即，
，

于是，
又由于當n=4時，，
當n=5時，；
故滿足條件S_n＜167最大的正整數n為4。