Question

(本小題12分) 將圓O: 上各點的縱坐標變為原來的一半 (橫坐標不變), 得到曲線、拋物線的焦點是直線y＝x－1與x軸的交點.

(1)求，的標準方程；

(2)請問是否存在直線滿足條件：① 過的焦點;②與交于不同兩

點,,且滿足？若存在，求出直線的方程; 若不存在,說明

理由．

 

Answer 1

【答案】

 (1) 的方程為：， 的方程為：。

（2）或．

【解析】

試題分析：（1）設點, 點M的坐標為,由題意可知得到關系式。

（2）假設存在這樣的直線，設其方程為，聯立方程組，結合韋達定理和向量數量積得到。

解：(1)設點, 點M的坐標為,由題意可知

又∴.

所以, 的方程為的方程為：．

綜上，的方程為：， 的方程為：。

（2）假設存在這樣的直線，設其方程為，兩交點坐標為，

由消去，得，

①

，②

，③

將①②代入③得，解得

所以假設成立，即存在直線滿足條件，且的方程為或．

考點：本題主要考查了直線與橢圓的位置關系的運用，以及圖像的變換，以及向量的數量積來表示垂直關系的運用。

點評：解決該試題的關鍵是能利用圖像變換準確得到曲線的方程然后利用向量的數量積來求解得到參數的值。