Question

已知函數f （x）=lnx，g（x）=e^x．
（ I）若函數φ （x）=f （x）-，求函數φ （x）的單調區間；
（Ⅱ）設直線l為函數的圖象上一點A（x₀，f （x₀））處的切線．證明：在區間（1，+∞）上存在唯一的x₀，使得直線l與曲線y=g（x）相切．

Answer 1

（Ⅰ）解：=，．（2分）
∵x＞0且x≠1，∴φ'（x）＞0
∴函數φ（x）的單調遞增區間為（0，1）和（1，+∞）．（4分）
（Ⅱ）證明：∵，∴，
∴切線l的方程為，
即，①（6分）
設直線l與曲線y=g（x）相切于點，
∵g'（x）=e^x，∴，∴x₁=-lnx₀．（8分）
∴直線l也為，
即，②（9分）
由①②得 ，
∴．（11分）
下證：在區間（1，+∞）上x₀存在且唯一．
由（Ⅰ）可知，φ（x）=在區間（1，+∞）上遞增．
又，，（13分）
結合零點存在性定理，說明方程φ（x）=0必在區間（e，e²）上有唯一的根，這個根就是所求的唯一x₀．
故結論成立．
分析：（Ⅰ）求導函數，確定導數恒大于0，從而可得求函數φ （x）的單調區間；
（Ⅱ）先求直線l為函數的圖象上一點A（x₀，f （x₀））處的切線方程，再設直線l與曲線y=g（x）相切于點，進而可得，再證明在區間（1，+∞）上x₀存在且唯一即可．
點評：本題以函數為載體，考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查曲線的切線，同時考查零點存在性定理，綜合性比較強．