Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是矩形，面底面，且是邊長為的等邊三角形， ， 在上，且∥面BDM.

（1）求直線PC與平面BDM所成角的正弦值；

（2）求平面BDM與平面PAD所成銳二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】試題分析：

利用題意建立空間直角坐標系，據此可得：

(1) 直線PC與平面BDM所成角的正弦值為

(2) 平面BDM與平面PAD所成銳二面角的大小為.

試題解析：

解：因為， 作AD邊上的高PO，

則由，由面面垂直的性質定理，得，

又是矩形，同理，知, ，故.

以AD中點O為坐標原點，OA所在直線為x軸，OP所在直線為z軸，AD的垂直平分線y軸，建立如圖所示的坐標系，則，

連結AC交BD于點N，由，

所以，又N是AC的中點，

所以M是PC的中點，則，設面BDM的法向量為，

，

，得，

令，解得，所以取.

（1）設PC與面BDM所成的角為，則，

所以直線PC與平面BDM所成角的正弦值為 .

（2）面PAD的法向量為向量，設面BDM與面PAD所成的銳二面角為，

則，故平面BDM與平面PAD所成銳二面角的大小為.