Question

【題目】已知函數（其中是自然對數的底數)）．

（1）若是函數的極值點，求實數的值并討論的單調性；

（2）若，函數有兩個零點，，證明：．

Answer 1

【答案】（1）；在單調遞減，在單調遞增；（2）詳見解析．

【解析】

（1）由得到，所以，分，兩種情況討論即可得到的單調性；

（2），當時，函數在上單調遞增，不存在兩個零點，當時，，，，不妨設，令，則，，，，欲證，只需證明，再構造函數證明即可.

（1），因為是函數的極值點，

所以，所以，所以．

當時，，，所以，

當時，，，所以，

所以在單調遞減，在單調遞增．

（2）．

當時，函數在上單調遞增，不存在兩個零點，∴．

由題意知，，

∴，，，，

可得，

不妨設，令，則．

由，解得，，

∴．

欲證，只需證明，即證，

設，則．

設，則，∴單調遞增．

∴，即，∴在區間上單調遞增，

∴，即，原不等式得證．