Question

已知函數f（x）是定義在[-6，6]上的奇函數，且f（x）在[0，3]上是x的一次函數，在[3，6]上是x的二次函數，且當3≤x≤6時，f（x）≤f（5）=3，f（6）=2，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析：根據題意，分析可得（5，3）是[3，6]這段二次函數圖象的頂點，則設其解析式為f（x）=a（x-5）²+3，代入數據可得a=-1，即f（x）=-（x-5）²+3，進而由特殊值可得f（x）在[0，3]x的一次函數的解析式，再根據函數是奇函數，由奇函數的性質，分析可得f（x）的解析式．

解答：解：∵f（x）在[3，6]上是x的二次函數，且當3≤x≤6時，f（x）≤f（5）=3；
∴（5，3）是此二次函數圖象的頂點，設這個二次函數為f（x）=a（x-5）²+3．
∵f（6）=2；
∴a=-1．
∴f（x）=-（x-5）²+3（x∈[3，6]），
∴f（3）=-1．
又函數f（x）是定義在[-6，6]上的奇函數；
∴f（0）=0．
∵f（x）在[0，3]上是x的一次函數，且f（0）=0，f（3）=-1；
∴f(x)=-

1

3

x．
又∵函數f（x）是定義在[-6，6]上的奇函數，
∴x∈[-3，0]時，f(x)=-f(-x)=-[-

1

3

(-x)]=-

1

3

x；x∈[-6，-3]時，
f（x）=-f（-x）=-[-（-x-5）²+3}=（x+5）²-3．
綜上f(x)=

-(x-5)2+3 x∈[3，6] - 1 3 x x∈[-3，3] (x+5)2-3 x∈[-6，-3]

點評：本題考查函數奇偶性的運用以及待定系數法求函數的解析式，涉及分段函數時，注意分段函數，分段分析，分段討論的思想．