Question

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點E在線段PC上，PC⊥平面BDE．
（1）證明：BD⊥平面PAC；
（2）若AD=2，當PC與平面ABCD所成角的正切值為

2

2

時，求四棱錐P-ABCD的外接球表面積．

Answer 1

分析：（1）由PA⊥平面ABCD，PC⊥平面BDE，結合線面垂直的性質可得PA⊥BD及PC⊥BD，進而由線面垂直的判定定理可得BD⊥平面PAC；
（2）由已知可得PC即為四棱錐P-ABCD的外接球的直徑，結合AD=2，PC與平面ABCD所成角的正切值為

2

2

時，求出外接球的半徑，可得四棱錐P-ABCD的外接球表面積．

解答：證明：（1）∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD．…（2分）
同理由PC⊥平面BDE可證得PC⊥BD．                          …（4分）
又PA∩PC=P，
∴BD⊥平面PAC．                                 …（6分）
解：（2）由（1）知BD⊥平面PAC，又AC?平面PAC，
∴BD⊥AC．
故矩形ABCD為正方形，
∴AB=BC=CD=AD=2．
所以AC=2

2

…（8分）
因為PA⊥平面ABCD，
所以 PA與平面ABCD所成角為∠PCA，
因為PC與平面ABCD所成角的正切值為

2

2

，
即tan∠PCA=

2

2

，即tan∠PCA=

PA

AC

，
所以PA=ACtan∠PAC=2

2

×

2

2

=2，…（10分）
又2R=PC=

22+22+22

=

12

，
∴R=

3

所以四棱錐P-ABCD的外接球體積為S球面=4πR2=4π(

3

)2=12π．…（12分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，球的表面積，解答（1）的關鍵是熟練掌握線面垂直的判定與性質，解答（2）的關鍵是求出四棱錐P-ABCD的外接球的半徑．