Question

已知，如圖四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PG⊥平面ABCD，垂足為G，G在AD上，且AG=GD，BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中點，四面體P—BCG的體積為．
（Ⅰ）求異面直線GE與PC所成的角；
（Ⅱ）求點D到平面PBG的距離；
（Ⅲ）若F點是棱PC上一點，且DF⊥GC，求的值．

Answer 1

見解析

解法一：  （I）由已知

∴PG=4
如圖所示，以G點為原點建立空間直角坐標系
o—xyz，則
B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，4）
故E（1，1，0）

   ∴異面直線GE與PC所成的角為arccos
（II）平面PBG的單位法向量

∴點D到平面PBG的距離為
（III）設F（0，y , z）

在平面PGC內過F點作FM⊥GC，M為垂足，則
解法二：
（I）由已知  
∴PG=4
在平面ABCD內，過C點作CH//EG交AD于H，連結PH，則∠PCH（或其補角）就是異面直線GE與PC所成的角.
在△PCH中，
由余弦定理得，cos∠PCH=，∴異面直線GE與PC所成的角為arccos
（II）∵PG⊥平面ABCD，PG平面PBG ∴平面PBG⊥平面ABCD
在平面ABCD內，過D作DK⊥BG，交BG延長線于K，
則DK⊥平面PBG ∴DK的長就是點D到平面PBG的距離

在△DKG，DK=DGsin45°=  ∴點D到平面PBG的距離為
（III）在平面ABCD內，過D作DM⊥GC，M為垂足，連結MF，又因為DF⊥GC
∴GC⊥平面MFD，∴GC⊥FM
由平面PGC⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD ∴FM//PG
由GM⊥MD得：GM=GD·cos45°=