Question

設函數f(x)=

ax2+1

bx+c

是奇函數（a，b，c都是整數），且f（1）=2，f（2）＜3．
（1）求a，b，c的值；
（2）判斷f（x）在（-∞，-1]上的單調性，并用單調性定義證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）由奇函數的定義得f（-x）=-f（x）對定義域內x恒成立，由此可求得c值，由f（1）=2，f（2）＜3及a，b為整數可求得a，b；
（2）設x₁＜x₂≤-1，通過作差可判斷f（x₁）與f（x₂）的大小，根據函數單調性的定義可作出判斷；

解答：解：（1）由f(x)=

ax2+1

bx+c

是奇函數，
得f（-x）=-f（x）對定義域內x恒成立，
則

a(-x)2+1

b(-x)+c

=-

ax2+1

bx+c

，
即-bx+c=-（bx+c）對定義域內x恒成立，
∴c=0，
由

f(1)=2 f(2)＜3

，得

a+1 b =2① 4a+1 2b ＜3②

，
由①得a=2b-1，代入②得

2b-3

2b

＜0，
∴0＜b＜

3

2

，
又a，b，c是整數，
得b=1，此時a=2-1=1．
（2）由（1）知，f（x）=

x2+1

x

=x+

1

x

在（-∞，-1]上單調遞增．
證明：設x₁＜x₂≤-1，
則f（x₁）-f（x₂）=x1+

1

x1

-（x2+

1

x2

）
=x₁-x₂+

x2-x1

x1x2

=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

），
∵x₁＜x₂≤-1，
∴x₁-x₂＜0，1-

1

x1x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在（-∞，-1]上單調遞增．

點評：本題考查函數奇偶性的性質、函數單調性的判斷，定義是解決函數奇偶性、單調性問題的基本方法，要熟練掌握．