Question

【題目】已知函數，.

（1）令，若曲線在點處的切線的縱截距為，求的值；

（2）設，若方程在區間內有且只有兩個不相等的實數根，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）6；（2）

【解析】

（1）求得在點處的切線方程，根據切線的截距為列方程，解方程求得的值.

（2）將方程轉化為，構造函數，利用研究函數在內的零點，結合零點存在性定理列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.

（1）由題設知，

，，

則；

∴，又，

∴切點為，

則切線方程為，

令，則，

由題設知，，

∴；

（2）∵，∴，

則方程，

即為，

即為；

令，于是原方程在區間內根的問題，

轉化為函數在內的零點問題；

∵

；

∵，∴當時，

，是減函數，

當時，，是增函數，

若使在內有且只有兩個不相等的零點，

只需即可，

解得，，

即的取值范圍是.