Question

關于函數f（x）=lg

x2+1

|x|

（x≠0，x∈R）有下列命題：
①函數y=f（x）的圖象關于y 軸對稱；
②在區間（-∞，0）上，函數y=f（x）是減函數；
③在區間（1，+∞）上，函數f（x）是增函數．
其中正確命題序號為

①③

．

Answer 1

分析：①判斷函數是偶函數即可．②利用復合函數的單調性進行判斷．③利用復合函數的單調性進行證明．

解答：解：①f(-x)=lg?

(-x)2+1

|-x|

=lg?

x2+1

|x|

=f(x)，所以函數為偶函數，所以函數y=f（x）的圖象關于y 軸對稱，所以①正確．
②設t=

x2+1

|x|

，則t=

x2+1

|x|

=|x|+

1

|x|

，當x＜0時，t=-x-

1

x

，t′=-1+

1

x2

=

1-x2

x2

，由t'＜0，解得x＜-1，此時函數t單調遞減，
所以當x∈（-∞，0）時，數y=f（x）不是單調函數，所以②錯誤．
③由②知，當x＞1時，t=x+

1

x

，t′=1-

1

x2

=

x2-1

x2

＞0，所以此時函數t單調遞增，根據復合函數的單調性可知，函數f（x）是增函數，所以③正確．
故答案為：①③

點評：本題主要考查與對數有關的復合函數的性質以及復合函數的單調性的應用，綜合性較強．