Question

若f（x）=x²-x+b，且f（log₂a）=b，f（a）=4（a＞0且a≠1），
（1）求a，b的值；
（2）求的值域；
（3）求的單調區間．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（log₂a）=b，f（a）=4代入，結合a＞0且a≠1可求a，b
（2）由（1）可得，y=log₂x，結合及對數函數的單調性可求函數的值域
（3）由=，結合二次函數與對數函數的單調性及復合函數的單調性可求函數的單調區間
解答：解：（1）∵f（log₂a）=b，f（a）=4
∴a²-a+b=4，
∴log₂a=1或log₂a=0（舍）
∴a=2，b=2； 
（2）由（1）可得，y=log₂x
∵
∴-1≤y≤2
故函數的值域為[-1，2]
（3）∵=
令t=x²-2x-1=（x-1）²-2，
∵函數t=x²-2x-1=（x-1）²-2對稱軸x=1，則由二次函數的性質可知可得單調減區間：（-∞，1），單調遞增區間：（1，+∞）
∵y=2^t為單調遞增函數
由復合函數的單調性可知，函數y=的單調減區間：（-∞，1）；增區間：（1，+∞）
點評：本題主要考查了利用待定系數法求解函數的函數解析式，對數函數的值域的求解，復合函數的單調區間的求解，屬于函數知識的綜合應用．