Question

【題目】設橢圓 ，離心率，短軸，拋物線頂點在原點，以坐標軸為對稱軸，焦點為，

（1）求橢圓和拋物線的方程；

（2）設坐標原點為，為拋物線上第一象限內的點，為橢圓是一點，且有，當線段的中點在軸上時，求直線的方程．

Answer 1

【答案】(1)，(2)

【解析】

（1）根據和，代入，求出，即可求出橢圓方程；再根據已知條件得拋物線焦點在的參數軸，且，從而求出拋物線方程；

（2）根據題意，設直線和的方程，與曲線聯立求出點和點的坐標，根據線段的中點在軸上，即可求出直線的方程.

(1) 由得，又有，代入，解得

所以橢圓方程為

由拋物線的焦點為得，拋物線焦點在的參數軸，且，

拋物線的方程為：

(2)由題意點位于第一象限，可知直線的斜率一定存在且大于

設直線方程為：，

聯立方程得：，可知點的橫坐標，即

因為，可設直線方程為：

連立方程得：，從而得

若線段的中點在軸上，可知，即

有，且，解得

從而得，

直線的方程：