Question

已知銳角三角形的邊長分別是2，3，x，則x的取值范圍是（　�。�

• A．1＜x＜5
• B．

  5

  ＜x＜

  13

• C．0＜x＜

  5

• D．

  13

  ＜x＜5

Answer 1

分析：根據三角形為銳角三角形，得到三角形的三個角都為銳角，得到三銳角的余弦值也為正值，分別設出3和x所對的角為α和β，利用余弦定理表示出兩角的余弦，因為α和β都為銳角，得到其值大于0，則分別令余弦值即可列出關于x的兩個不等式，根據三角形的邊長大于0，轉化為關于x的兩個一元二次不等式，分別求出兩不等式的解集，取兩解集的交集即為x的取值范圍．

解答：解：∵三角形為銳角三角形，
∴三角形的三個內角都為銳角，
則設邊長為3所對的銳角為α，根據余弦定理得：cosα=

22+x2-32

4x

＞0，
即x²＞5，解得x＞

5

或x＜-

5

（舍去）；
設邊長為x所對的銳角為β，根據余弦定理得：cosβ=

22+32-x2

12

＞0，
即x²＜13，解得0＜x＜

13

，
則x的取值范圍是

5

＜x＜

13

．
故選B

點評：此題考查了余弦定理，熟練運用余弦定理是解本題的關鍵．